已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-12，当x＞4时，f（x）＞32，且f（12）=0．（1）求f（2）的值；（2）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．

Question

已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-(1)/(2)，当x＞4时，f（x）＞(3)/(2)，且f（(1)/(2)）=0．
（1）求f（2）的值；
（2）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．

Answer 1

（1）∵定义在（0，+∞）上函数f（x），
对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-(1)/(2)，
∴f（1）=f（1）+f（1）-(1)/(2)，
∴f（1）=(1)/(2)，
∴f（2×(1)/(2)）=f（2）+f（(1)/(2)）-(1)/(2)，
∵f（(1)/(2)）=0，∴f（2）=1．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（(x2)/(x1)）-(1)/(2)=f（(4x2)/(x1)•4）-(1)/(2)=f((4x2)/(x1))+f((1)/(4))−1，
∵f（(1)/(4)）=f（(1)/(2)）+f（(1)/(2)）-(1)/(2)，且(4x2)/(x1)＞4时，f（x）＞(3)/(2)，
∴f(x2+3x)＞(3)/(2)＝f(4)，
∴

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