已知椭圆穹顶长轴短轴和高度,求椭圆穹顶面积,

Question

已知椭圆穹顶长轴短轴和高度,求椭圆穹顶面积,

Answer 1

设椭圆穹顶面积为s,椭圆穹顶长轴为2a,短轴为2b,高度为h,短轴为竖直方向,椭圆穹通过穹顶的竖直截面的椭圆方程为
（x／a）^2＋（y／b）^2＝1
则在第一象限,y＝（b／a）√（a^2－x^2）
y′＝－（bx／a）／√（a^2－x^2）
（y′）^2 ＝［（bx／a）^2］／（a^2－x^2）
1＋（y′）^2 ＝1＋［（bx／a）^2］／（a^2－x^2）
＝［a^2－x^2＋（bx／a）^2］／（a^2－x^2）
＝［a^4－（ax）^2＋（bx）^2］／［（a^2）（a^2－x^2）］
√［1＋（y′）^2］ ＝（1／a）√｛［a^4－（ax）^2＋（bx）^2］／（a^2－x^2）｝
∴ s＝∫2πx√［1＋（y′）^2］dx【积分区域x由0到（a／b）√［b^2－（b－h）^2］】
＝（2π／a）∫x√｛［a^4－（ax）^2＋（bx）^2］／（a^2－x^2）｝dx【积分区域x由0到（a／b）√［b^2－（b－h）^2］】