如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BC=2，求三棱锥A

Question

如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．

（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）若AB=BC=2，求三棱锥A-BDM的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，
∴OM⊥CD．
∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，
∴OM⊥平面BCD．
∵AB⊥平面BCD，
∴OM∥AB．
又∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知OM∥平面ABD，
∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离．
过O作OH⊥BD，垂足为点H，
∵AB⊥平面BCD，OH⊂平面BCD，
∴OH⊥AB．
∵AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD=B，
∴OH⊥平面ABD．
∵AB=BC=2，△BCD是等边三角形，
∴BD=2，OD=1，OH=OD•sin60°=(√(3))/(2)．
∴V_A-BDM=V_M-ABD=V_O-ABD=(1)/(3)×(1)/(2)×AB•BD•OH=(1)/(3)×(1)/(2)×2×2×(√(3))/(2)=(√(3))/(3)．
∴三棱锥A-BDM的体积为(√(3))/(3)．