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已知,在△ABC中,AB=AC,直线m经过点A,点D,E是直线m上的动点,且∠BDE=∠AEC=∠BAC.(1)如图1,求证:DE=BD+CE;(2)如图2,以AB为边作等边三角形ABF,连接FC,FD,FE(D,A,E三点互不重合
题目详情
已知,在△ABC中,AB=AC,直线m经过点A,点D,E是直线m上的动点,且∠BDE=∠AEC=∠BAC.
(1)如图1,求证:DE=BD+CE;
(2)如图2,以AB为边作等边三角形ABF,连接FC,FD,FE(D,A,E三点互不重合),若∠BAC=120°,试判断△DEF的形状,并说明理由.
(1)如图1,求证:DE=BD+CE;
(2)如图2,以AB为边作等边三角形ABF,连接FC,FD,FE(D,A,E三点互不重合),若∠BAC=120°,试判断△DEF的形状,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)证明:∵∠BDA=∠BAC,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)DF=EF.理由如下:
由(1)知,△ADB≌△CAE,
BD=EA,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF为等边三角形,
∴∠ABF=∠BAF=60°,BF=AF,
∵∠BAC=120°,
∴∠FAC=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
在△DBF和△EAF中,
,
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
|
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)DF=EF.理由如下:
由(1)知,△ADB≌△CAE,
BD=EA,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF为等边三角形,
∴∠ABF=∠BAF=60°,BF=AF,
∵∠BAC=120°,
∴∠FAC=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
在△DBF和△EAF中,
|
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
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