如图，OA=2，OB=4，∠AOB=90°，点C为直线AB上一动点，以BC为腰作等腰直角三角形△BCE，过A、C、E三点作O1，EF⊥BE交O1于F点．（1）若AB=BC，求O1的半径．（2）若C为动点，求EF的长．

Question

如图，OA=2，OB=4，∠AOB=90°，点C为直线AB上一动点，以BC为腰作等腰直角三角形△BCE，过A、C、E三点作 O₁，EF⊥BE交 O₁于F点．
（1）若AB=BC，求 O₁的半径．
（2）若C为动点，求EF的长．

Answer 1

（1）如图，连接AE，取AE的中点O₁，连接O₁B；
∵∠ACE=90°，
∴AE为 O₁的直径；
∵OA=2，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB²=2²+4²，
∴AB=2√(5)，AC=2AB=4√(5)；
由勾股定理得：AE²=AC²+CE²，
∴AE=10，
∴ O₁的半径为5．
（2）如图，连接AF；过点B作BM⊥AF；
则四边形BMFE为矩形，EF=BM；
∵BE∥AF，
∴∠BAM=∠CBE=45°，
∴sin45°=(BM)/(AB)，而AB=2√(5)，
∴BM=√(10)，
∴EF=√(10)．