如图，矩形ABCD中，AB=22，AD=4，M点为线段BC上一个动点，连AM，N点为线段AM上一点，若△NCD为等腰三角形，且满足条件的N点有且只有三个，则线段BM的长为2222．

Question

如图，矩形ABCD中，AB=2√(2)，AD=4，M点为线段BC上一个动点，连AM，N点为线段AM上一点，若△NCD为等腰三角形，且满足条件的N点有且只有三个，则线段BM的长为

2√(2)

2√(2)

．

Answer 1

若△NCD为等腰三角形，且满足条件的N点有且只有三个，则这三个点分别是CD的垂直平分线与AM的交点，以C为圆心以CD长为半径的圆与AM的交点，以D为圆心DC长为半径的圆与AM的切点，
所以当DN=DC时，DN⊥AM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∵CD=DN，
∴AB=DN，
∴∠DAN=∠AMB，
∵∠B=∠AND=90°，
在△ABM与△DNA中

∠DAN＝∠AMB

∠B＝∠AND＝90°

AB＝DN

∴△ABM≌△DNA（AAS），
∴BM=AN，
∵DN=DC=AB=2√(2)，AD=4，
∴AN=√(AD2−DN2)=2√(2)，
∴BM=2√(2)；
故答案为2√(2)．