伟达定理已知关于x的方程x^2-(2a-1)x+4(4a-1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求a的值

Question

伟达定理
已知关于x的方程x^2-(2a-1)x+4(4a-1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求a的值

Answer 1

设两根分别为x1,x2
有 x1^2+x2^2=5^2
(x1+ x2)^2-2x1*x2=25
x1+ x2=2a-1,x1*x2=4(4a-1)
代入,化简得
a^2-9a-4=0
得 a1=(9- 97^1/2)/2 ,a2=(9+ 97^1/2)/2(舍去)
因为有两实根,需判别式大于等于零
（2a-1）^2-4*4(4a-1)>=0
解得,a>=8.5+2*17^1/2 或 a