哪个天才来证明一下下面这三个命题1.若y=f(x)既关于直线x=a对称,又关于x=b（a≠b）对称,则y=f(x)一定是周期函数,且T=2|a－b|是它的一个周期2.若y=f(x)既关于直线x=a对称,又关于点(b,c)中心对称,则y

Question

哪个天才来证明一下 下面这三个命题
1.若y=f(x)既关于直线x=a对称,又关于x=b（a≠b）对称,则y=f(x)一定是周期函数,且T=2|a－b|是它的一个周期
2.若y=f(x)既关于直线x=a对称,又关于点(b,c)中心对称,则y=f(x)一定是周期函数,且T=4|a－b|是它的一个周期.
3.定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b－f(2a－x),则y=f(x)关于点(a,b)对称

Answer 1

1.
不妨设a>b;
f(x)关于x=a对称因此f(a+x)=f(a-x),同理f(b+x)=f(b-x);
因此
f(x+(a-b)) = f(a+(x-b))
= f(a-(x-b)) (因为关于a对称)
= f(b-(x-a))
= f(b+(x-a)) (因为关于b对称)
= f(x-(a-b))
因此f(x)是周期函数,2(a-b)是它的一个周期
2.
不妨设a>b
关于x=a对称:f(a+x)=f(a-x)
关于(b,c)对称:f(b+x)+f(b-x)=2c .如果不理解的话画个图来看
因此
f(x+(a-b)) = f(a+(x-b))
= f(a-(x-b)) = f(b-(x-a))
= 2c - f(b+(x-a))
= 2c - f(x-(a-b))
由x-(a-b)的任意性,变量替换:令t=x-(a-b):
得到 f(t+2(a-b)) = 2c - f(t)
因此 f(t+4(a-b)) = 2c - f(t+2(a-b)) = 2c - ( 2c - f(t) ) = f(t)
3.
这个好似很显然哦...
化一化的话可以化成:
令x=a+t
则 f(a+t) = 2b - f(a-t)
即 f(a+t) + f(a-t) = 2b
表示距离a距离相同的点(分别为a-t和a+t)的函数值刚好分布在b的两边的对称位置
这些题目实在没头绪的话,一个是要知道那些f(a+x)=f(a-x)这类函数关系和对称性的关系,还一个是最好对着图来想