已知定点A（0，2），B（0，-2），C（2，0），动点P满足AP•BP＝kPC2（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线（2）当k=2时，求|AP+2BP+CP|的最大值和最小值．

Question

已知定点A（0，2），B（0，-2），C（2，0），动点P满足

AP

•

BP

＝k

PC

2
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线
（2）当k=2时，求|

AP

+2

BP

+

CP

|的最大值和最小值．

Answer 1

（1）设动点P的坐标为（x，y），

AP

＝(x，y−2)，

BP

＝(x，y+2)

PC

＝(x−2，y)，
由已知x²+y²-4=k[（x-2）²+y²]
∴（k-1）x²+（k-1）y²-4kx+4（k+1）=0…（3）分
①∴当k=1时，x=2方程表示一条直线          …（4）分
②当k≠1时，x2+y2−(4kx)/(k−1)+(4(k+1))/(k−1)＝0
∴(x−(2k)/(k−1))2+y2＝(4k2)/((k−1))−(4(k+1))/(k−1)＝(4)/((k−1)2)＞0
∴k≠1时，方程表示圆心为((2k)/(k−1)，0)，r＝(2)/(|k−1|)的圆      …（6）分
（2）k=2点p的方程为（x-4）²+y²=4

AP

+2

BP

+

CP

＝(x，y−2)+(2x，2y+4)+(x−2，y)＝(4x−2，4y+2)|

AP

+2

BP

+

CP

|＝√((4x−2)2+(4y+2)2)＝4√((x−(1)/(2))2+(y+(1)/(2)2))…（8）分
√((x−(1)/(2))2+(y+(1)/(2)2))表示点（x，y）到点((1)/(2)，−(1)/(2))的距离     …（10）分
圆心（4，0）到((1)/(2)，−(1)/(2))的距离为d＝√((49)/(4)+(1)/(4))＝(5√(2))/(2)
∴|

AP

+2

BP

+

CP

|的最小值为((5√(2))/(2)−2)×4＝10√(2)−8，
最大值为((5√(2))/(2)+2)×4＝10√(2)+8…（13）分