已知圆M（M为圆心）的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过

Question

已知圆M（M为圆心）的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

（1）设P（2m，m），由题可知MP=(1)/(sin30°)=2，即（2m）²+（m-2）²=4，…（3分）
解得：m=0，m=(4)/(5)故所求点P的坐标为P（0，0）或P((8)/(5)，(4)/(5))．　 　　…（6分）
（2）设P（2m，m），MP的中点Q(m，(m)/(2)+1)，因为PA是圆M的切线
所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x-m)2+(y-(m)/(2)-1)2=m2+((m)/(2)-1)2…（9分）
化简得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故

x2+y2-2y=0

2x+y-2=0

解得

x=0

y=2

或

x=(4)/(5)

y=(2)/(5)

即（0，2）和（(4)/(5)，(2)/(5)）．…（14分）