已知圆M过三点（1，2），（0，1），（−32，32），直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，切点为A．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设经过A，P，M三点的圆为圆Q，问圆Q是否过

Question

已知圆M过三点（1，2），（0，1），（−(√(3))/(2)，(3)/(2)），直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，切点为A．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设经过A，P，M三点的圆为圆Q，问圆Q是否过定点（不同于M点），若有，求出所有定点的坐标；若没有，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，因为圆M过三点（1，2），（0，1），(−(√(3))/(2)，(3)/(2))．
∴

1+4+D+2E+F＝0

1+E+F＝0

(3)/(4)+(9)/(4)−(√(3))/(2)D+(3)/(2)E+F＝0 

，
解得

D＝0

E＝−4

F＝3

，
故所求圆M的方程为：x²+y²-4y+3=0；
（II）圆的标准方程为x²+（y-2）²=1，M（0，2），
设P（2m，m），MP的中点Q（m，(m)/(2)+1），因为PA是圆M的切线
∴经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x−m)2+(y−(m)/(2)−1)2=m2+((m)/(2)−1)2，
化简得：x²+y²-2y-m（2x+y-2）=0，此式是关于m的恒等式，
故

x2+y2−2y＝0

2x+y−2＝0

解得

x＝0

y＝2

或

x＝(4)/(5)

y＝(2)/(5)

即（0，2）和（(4)/(5)，(2)/(5)）．
故圆过定点的坐标是：（0，2）和（(4)/(5)，(2)/(5)）．