设函数f(x)＝lnx+ax−1在(0，1e)内有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：f(x2)−f(x1)＞e+2−1e．

Question

设函数f(x)＝lnx+(a)/(x−1)在(0，(1)/(e))内有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求证：f(x2)−f(x1)＞e+2−(1)/(e)．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数f′(x)＝(1)/(x)−(a)/((x−1)2)＝(x2−(a+2)x+1)/(x(x−1)2)
∵函数f(x)＝lnx+(a)/(x−1)在(0，(1)/(e))内有极值
∴f′（x）=0在(0，(1)/(e))内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设0＜α＜(1)/(e)，则β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴g((1)/(e))＝(1)/(e2)−(a+2)/(e)+1＜0，
∴a＞e+(1)/(e)−2
（2）证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由x₁∈（0，1），可得f(x1)≤f(α)＝lnα+(a)/(α−1)
由x₂∈（1，+∞），可得f(x2)≥f(β)＝lnβ+(a)/(β−1)
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴f(β)−f(α )＝2lnβ+a×(α−β)/((β−1)(α−1))=2lnβ+a×((1)/(β)−β)/(2−(a+2))=2lnβ+β −(1)/(β)
记h(β)＝2lnβ+β −(1)/(β)(β＞e)
则h′（β）=(2)/(β)+1+(1)/(β2)＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增
∴h(β)＞h(e)＝e+2−(1)/(e)
∴f(x2)−f(x1)＞e+2−(1)/(e)