已知函数f(x)=xlnx．(Ⅰ)求函数f(x)在[1，3]上的最小值；(Ⅱ)若存在(e为自然对数的底数，且e=2.71828…)使不等式成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f(x)=xlnx．
(Ⅰ)求函数f(x)在[1，3]上的最小值；
(Ⅱ)若存在(e为自然对数的底数，且e=2.71828…)使不等式成立，求实数a的取值范围．____

Answer 1

【分析】(Ⅰ)先求出函数的导函数，研究出原函数在[1，3]上的单调性即可求出函数f(x)在[1，3]上的最小值；
\n(Ⅱ)先把不等式2f(x)≥-x²+ax-3成立转化为成立，设，利用导函数求出h(x)在上的最大值即可求实数a的取值范围．

(Ⅰ)由f(x)=xlnx，可得f'(x)=lnx+1，(2分)
\n当时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
\n当时，f'(x)>0，f(x)单调递增．
\n所以函数f(x)在[1，3]上单调递增．
\n又f(1)=ln1=0，
\n所以函数f(x)在[1，3]上的最小值为0．(6分)
\n(Ⅱ)由题意知，2xlnx≥-x²+ax-3，则．
\n若存在使不等式2f(x)≥-x²+ax-3成立，
\n只需a小于或等于的最大值．
\n设，则．
\n当时，h'(x)<0，h(x)单调递减；
\n当x∈(1，e]时，h'(x)>0，h(x)单调递增．
\n由，，，
\n可得．
\n所以，当时，h(x)的最大值为．
\n故．(13分)

【点评】本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．当a≥h(x)恒成立时，只需要求h(x)的最大值；当a≤h(x)恒成立时，只需要求h(x)的最小值．