已知数列an的相邻两项an、a(n+1)是方程x^2-Cnx+(1/3)^n=0的两根（n属于N*）,且a1=2,则无穷数列Cn的各项和为?

Question

已知数列an的相邻两项an、a(n+1)是方程x^2-Cnx+(1/3)^n=0的两根（n属于N*）,且a1=2,则无穷数列Cn的各项和为?

Answer 1

an、a是方程x^2-Cnx+(1/3)^n=0的两根（n属于N*）,
∴an+a=Cn,①
an*a=(1/3)^n,②
以n+1代n,得a*a=(1/3)^(n+1),③
③/②,得a/an=1/3,④
a1=2,由②,a2=1/6,
由④,a=a1*(1/3)^(k-1),
a=a2*(1/3)^(k-1),
由①,C=a+a=(a1+a2)(1/3)^(k-1)=7/3^k,
C=a+a=(a2+a3)(1/3)^(k-1)=(5/2)/3^k,
∴无穷数列Cn的各项和为（c1+c2)/(1-1/3)=(7/3+5/6)*3/2=19/4.