求证函数的差分等式的问题如何证明f(x)=x^m(即x的m次方）的m-1级差分等于m!(x+1/2(m-1)),以及f(x)=x^m的m级差分等于m!现在已经知道的是如果f(x)是一个m次多项式,那么f(x)的一级差分就是一个（m-1)

Question

求证函数的差分等式的问题
如何证明f(x)=x^m (即x的m次方）的m-1级差分等于m!(x+1/2(m-1) ),以及f(x)=x^m的m级差分等于m!现在已经知道的是如果f(x)是一个m次多项式,那么f(x)的一级差分就是一个（m-1)次多项式,····以此类推f(x)的m-1级差分就只留下含x的多项式和常数项了.

Answer 1

首先,可以先用数学归纳法求出k阶差分的最高项系数为m*(m-1)*...*(m-k+1).
其次,假设m-1阶差分是m!(x-a),下面确定a的值.
根据数学归纳法能求出m-1阶差分是(x+m-1)^m-C(1,m-1)*(x+m-2)^m+C(2,m-1)*(x+m-3)^m-.+(-1)^(m-1)*x^m.其中C(*,*)是组合数.
你把x= -(m-1)/2带进去会发现该式为0,所以a= -(m-1)/2.
所以m-1阶差分是m!(x+(m-1)/2).
m阶差分是m!
(这只是概述,具体细节需要计算)