设Y=900X*X—M.X,M均为正整数,当M为已知数时,如何求出X,使得Y为平方数.例如M=9788988911,此时X=3298,Y=367*367.M=911时,不论X取何值,Y都不是平方数.1：当M=911时，不论X取何值，Y都不是平方数。请证明。

Question

设Y=900X*X—M .X,M 均为正整数,当M为已知数时,如何求出X,使得Y为平方数.
例如M=9788988911,此时X=3298,Y=367*367.
M=911时,不论X取何值,Y都不是平方数.
1：当M=911时，不论X取何值，Y都不是平方数。请证明。
2：当M=169511时，仅有X=14可以使得Y为平方数。请证明。
3：利用计算机一个一个试Y 的值，当M很大时太麻烦。如果有，意义重大。

Answer 1

第一题二楼已经说过不再多说
假设还有另外一个数使得Y为平方数,假设为T,由于X的系数为900,则Y可以分解为900*（X-14）*（X-T）,分解为900X^2-900*(14+T)X+900*14*T,令14+T=2K,14*T=K^2,则Y=900（X-K）^2.由于K可以被14整除,则T也必须可以,于是假设T=14M,代入得14+14M=28倍根号M
化解为14（根号M-1）^2,M必须是完全平方数.另M=D^2,则K=14D,代入14+T=2K得（D-1）^2=0,只有一个解D=1,就是X=14符合条件,所以解只有一个.