已知两曲线y=f（x）与y=∫arctanx0e−t2dt在点（0，0）处的切线相同．求此切线的方程，并求极限limn→∞nf(2n)．

Question

已知两曲线y=f（x）与y=

∫

arctanx 0

e−t2dt在点（0，0）处的切线相同．求此切线的方程，并求极限

lim

n→∞

nf((2)/(n))．

Answer 1

由已知条件得f（0）=0，f′(0)＝(

∫	arctanx  0

e−t2dt)′x| x＝0＝[e−arctan2x•(1)/(1+x2)]x＝0＝1，
故所求切线方程为：y=x．
由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得：

lim

n→∞

nf((2)/(n))＝2

lim

n→∞

(f((2)/(n))−f(0))/((2)/(n))＝2

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x)＝2f′(0)＝2．