高等数学题求函数f(x)=x^2In(1+x)在x=0处的n阶导数f^(n)(0),(n>=3).做不出来...希望有详细过程,谢谢大家.

Question

高等数学题
求函数f(x)=x^2In(1+x)在x=0处的n阶导数f^(n)(0),(n>=3).
做不出来...希望有详细过程,谢谢大家.

Answer 1

设u=x^2 v=ln(1+x)
则u'=2x u''=2 u'''=u^(4)=……=0
v'=1/(1+x) v''=-1/(1+x)^2 v'''=2!/(1+x)^3 v^(4)=-3!/(1+x)^4 ,…,v^(n)=(-1)^(n-1)(n-1)!/(1+x)^n,….
u''(0)=2 u(0)=u'(0)=u'''(0)=……=0
v(0)=0 v'(0)=1 v^(n)(0)=(-1)^(n-1)(n-1)!(n=1,2,……）
利用莱布尼茨公式得：
f'''(0)=u'''(0)v(0)+3u''(0)v'(0)+3u'(0)v''(0)+u(0)v'''(0)=3*2*1=3!=6
f^(4)(0)=C(4,2)u''(0)v''(0)=6*2(-1)=-12
f^(5)(0)=C(5,2)u''(0)v'''(0)=10*2*(2!)=40
……
f^(n)(0)=C(n,2)u''(0)v^(n-2)(0)=n(n-1)(-1)^(n-1)(n-3)!=(-1)^(n-1)*n!/(n-2)