微分中值定理的应用设f(x)在[0,1]可导,且f(0)=f(1)=0.证明存在n(0,1)使f(n)+f"(n)=0

Question

微分中值定理的应用
设f(x)在[0,1]可导,且f(0)=f(1)=0.
证明存在n(0,1)使f(n)+f'(n)=0

Answer 1

设T(x)=e^x*f(x)
则T'(x)=e^x*f(x)+e^x*f'(x)
由于T(0)=1*f(0)=0,T(1)=e*f(1)=0
所以,利用罗尔中值定理有T'(n)=0
也就是e^n*f(n)+e^n*f'(n)=0
由于e^n>0,所以,约去,最后得到
f(n)+f'(n)=0
结束