几何题好的加分在锐角三角形ABC中AA1,BB1是两条角平分线,I,O,H分别为三角形ABC的内心,外心,垂心,连接HO分别交AC,BC于点PQ,已知C,A1,I,B1四点共圆..(1)求证;角C=60度(2)求证:PQ=AP+BQ..

Question

几何题好的加分
在锐角三角形ABC中AA1,BB1是两条角平分线,I,O,H分别为三角形ABC的内心,外心,垂心,连接HO分别交AC,BC于点PQ,已知C,A1,I,B1四点共圆..
(1)求证;角C=60度
(2)求证:PQ=AP+BQ..

Answer 1

(1)、∵C、A1、I、B1四点共圆,∴∠C+∠A1IB1=180°,
其中∠A1IS1=∠A1AB1+∠AB1B=∠A1AB1+∠C+∠CBB1=∠A/2+∠C+∠B/2=90°+∠C/2,
那么∠C+(90°+∠C/2)=180°,∴∠C+∠C/2=90°,得∠C=60° ..
(2)、证明甚为复杂,提示如下.连接CI并延长交⊙O于M,则因CI是∠C的平分线知M是AB弧的中点,AM=BM,且OM⊥AB.设⊙O的半径为R..
①、延长BH与⊙O相交利用正弦定理可证CH=2RcosC=2Rcos60°=R；
②、COMH是菱形得CM⊥PQ；
③、证⊿CPQ和⊿MPQ都是等边三角形；
④、证M点是⊿CPQ的旁心,作出过ME⊥CA,MF⊥CB,由切线长定理得PQ=EP+FQ；
⑤、证⊿MAE≌⊿MBF,得AE=BF,取长补短得PQ=AP+BQ.