已知四边形ABCD内接与圆O,且对角线AC垂直BD,OE垂直CD于E,求证2OE=AB,图贴不上,怎么证明,四边形是个梯形，ACBD是梯形的对角线，ABCD四个点都在圆上

Question

已知四边形ABCD内接与圆O,且对角线AC垂直BD,OE垂直CD于E,求证2OE=AB,图贴不上,怎么证明,
四边形是个梯形，AC BD是梯形的对角线，ABCD四个点都在圆上

Answer 1

设对角线AC垂直BD于H,所以△AHB,△BHC,△CHD,△DHA都是直角三角形
AB^2+CD^2=AH^2+BH^2+CH^2+DH^2,
AD^2+BC^2=AH^2+DH^2+BH^2+CH^2.
所以AB^2+CD^2=AD^2+BC^2.(1)
AB*CD=根号项（AH^2+BH^2）*根号项（CH^2+DH^2）=根号项（AH^2CH^2+BH^2CH^2+AH^2DH^2+BH^2DH^2）
BC*AD=根号项（BH^2+CH^2）*根号项（AH^2+DH^2）=根号项（AH^2CH^2+BH^2CH^2+AH^2DH^2+BH^2DH^2）
所以AB*CD=BC*AD.(2)
(1)+2*(2)得（AB+CD）^2=(AD+BC)^2
所以AB+CD=AD+BC
同一个圆内弧AB+弧CD=弧AD+弧BC
所以角AOB+角COD=角BOC+角AOD
所以角AOB+角COD=180°
过O作OF垂直与AB于F,则AF=BF,角AOF=1/2角AOB
所以角AOF+角DOE=90°,
因为OE垂直于CD,所以角DOE+角ODE=90°.
所以角AOF=角ODE,又因为OD=OA,角OED=角OFA=90°
所以△OED全等于△OFA
所以OE=AF=1/2AB
所以2OE=AB
得证