已知四边形ABCD内接于O，∠ADC=90°，∠DCB<90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30

Question

已知四边形ABCD内接于 O，∠ADC=90°，∠DCB<90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与 O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵对角线AC平分∠DCB，
∴∠ACD=∠ACB，
∴

AD

=

AB

，
∴AD=AB，
∵EB=AD，
∴AB=EB，
∵∠EBA=∠ADC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形
（2） 直线EF与 O相离．理由如下：
∵∠DCB<90°，∠ACD=∠ACB，
∵∠ACE≥30°，
∴60°≤∠DCE<90°，
∴∠AEC≤30°，
∴AE≥AC，
∵OE>AE，
∴OE>AC，
作OH⊥EF于H，如图，
在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，
∴OH=(1)/(2)OE，
∴OH>OA，
∴直线EF与 O相离．