如图，已知四边形AEBC，对角线AB，CE为O的直径，以BC为直径的圆与AB交与点D，连接CD，过点O作OF⊥BE于点M，OF交O于点F，连接AF，交CB于点G，交BE于点N，连接EF．若∠BCD=30°．（1）四边形AEBC

Question

如图，已知四边形AEBC，对角线AB，CE为 O的直径，以BC为直径的圆与AB交与点D，连接CD，过点O作OF⊥BE于点M，OF交 O于点F，连接AF，交CB于点G，交BE于点N，连接EF．若∠BCD=30°．

（1）四边形AEBC是___形；
（2）求证：△AEG≌△CBD；
（3）△EFN与△ACO是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．

Answer 1

（1）∵AB，CE为 O的直径，
∴∠CAE=∠ACB=∠CBE=90°，
∴四边形AEBC是矩形；
（2）如图1，

由（1）知，四边形AEBC是矩形，
∴AE=BC，
∵以BC为直径的圆与AB交与点D，
∴∠BDC=90°，
由∠BCD=90°，可求：∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°，
∵OA=OE，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠OAE=60°，
∵OF⊥BE，
∴弧EF=弧BF，
∴∠3=∠4=30°，
∴∠3=∠BCD，
在△AEG和CBD中，

∠2=∠1

AE=BC

∠3=∠BCD

，
∴△AEG≌△CBD；
（3）如图2
∵AB，CE为 O的直径，
∴∠CAE=∠ACB=∠CBE=90°，
由（2）知∠2=∠1=60°，
可求：∠7=∠8=30°，
∴∠6=∠7=30°，
由（2）知，弧EF=弧BF，∠4=30°，
∴∠5=∠4=30°，
∴∠5=∠6=∠7=∠8=30°，
∴△EFN∽△ACO；
∴∠3=∠6=30°，
∴EF=AE，
在Rt△AEC中，∠7=30°，
∴(AE)/(AC)=tan∠7=tan30°=(√(3))/(3)；
∴两三角形的相似比为：(√(3))/(3)．