两个边长均为3的正方形ABCD和ABEF所在平面垂直相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）当AM=FN=2时，求MN的长度．

Question

两个边长均为3的正方形ABCD和ABEF所在平面垂直相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN．
（1）证明：MN∥平面BCE；
（2）当AM=FN=√(2)  时，求MN的长度．

Answer 1

证明：（1）证法一：（线面平行的判定定理法）
如图一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，
则MP∥AB，NQ∥AB．
所以MP∥NQ，
又AM=NF，AC=BF，
所以MC=NB．
又∠MCP=∠NBQ=45°，
所以Rt△MCP≌Rt△NBQ，
所以MP=NQ．
故四边形MPQN为平行四边形．
所以MN∥PQ．…..（4分）
因为PQ∥平面BCE，MN∥平面BCE，
所以MN∥平面BCE…..（6分）
法二：如图二，过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC．
所以(AM)/(AC)=(AH)/(AB)．
连接NH，由BF=AC，FN=AM，得(FN)/(FB)=(AH)/(AB)，
所以NH∥AF∥BE．…..（2分）
又∵NH∩BH=H，BC∩BE=B，NH，BH⊂平面MNH，BC，BE⊂平面BCE
∴平面MNH∥平面BCE…..（4分）
因为MN⊂平面MNH，
所以MN∥平面BCE．…..（6分）
（2）如图二，∵AM=FN=√(2)
由比例关系易得：
∵(AM)/(AC)=(FN)/(FB)=(AH)/(AB)=(MH)/(BC)=(1)/(3)，
∴在Rt△ABC中，MH=1，
在Rt△ABF中，NH=2，
∴在Rt△MNH中，MN=√(5)．…..（12分）