在平面直角坐标系中，已知抛物线（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B

Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线 （b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴ ，解得 。
∴抛物线的函数表达式为： 。
（2）（i）∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x﹣1。
设平移前抛物线的顶点为P ₀ ，则由（1）可得P ₀ 的坐标为（2，1），且P ₀ 在直线AC上。
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1）。
则平移后抛物线的函数表达式为： 。
解方程组： ，解得 ， 。
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）。
过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，
∴PQ= =AP ₀ 。
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为 （即为PQ的长），
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P ₀ （2，1）可知，
△ABP ₀ 为等腰直角三角形，且BP ₀ ⊥AC，BP ₀ = 。
如答图1，过点B作直线l ₁ ∥AC，交抛物线 于点M，则M为符合条件的点。
∴可设直线l ₁ 的解析式为：y=x+b ₁ 。
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b ₁ ，解得b ₁ =﹣5。∴直线l ₁ 的解析式为：y=x﹣5。
解方程组 ，得： ， 。
∴M ₁ （4，﹣1），M ₂ （﹣2，﹣7）。

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为 ．
如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）。
由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P ₀ （2，1）可知：
△AFP ₀ 为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为 。
过点F作直线l ₂ ∥AC，交抛物线 于点M，则M为符合条件的点。
∴可设直线l ₂ 的解析式为：y=x+b ₂ ，
∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b ₂ ，解得b ₁ =﹣3。∴直线l ₂ 的解析式为：y=x﹣3。
解方程组 ，得： ， 。
∴M ₃ （ ， ），M ₄ （ ， ）。
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M ₁ （4，﹣1），M ₂ （﹣2，﹣7），M ₃ （ ， ），M ₄ （ ， ）。
（ii） 存在最大值。理由如下：
由（i）知PQ= 为定值，则当NP+BQ取最小值时， 有最大值。
如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q。

连接QF

作业帮用户 2017-10-05

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