如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别相交于点M、N.下列命题：①四边形EDCN是菱形；②四边形MNCD是等腰梯形；③△AEN与△EDM全等；④△AEM与△CBN相似；⑤点M是线段AD、BE、NE的黄金

Question

如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别相交于点M、N.下列命题：①四边形EDCN是菱形；②四边形MNCD是等腰梯形；③△AEN与△EDM全等；④△AEM与△CBN相似；⑤点M是线段AD、BE、NE的黄金分割点，其中假命题有（　　）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 4个

Answer 1

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，
∴四边形EDCN是菱形，故①正确；
∵AC=AD，
∴∠NCD=∠MDC，
∴四边形MNCD是等腰梯形，即②正确；
∵△AEB≌△EDA（SSS），
∴∠AEN=∠EDM，AE=ED，
由①②可得MD=CN=NE，
在△AEN和△EDM中，

AE＝ED

∠AEN＝∠EDM

DM＝EN

，
∴△AEN≌△EDM（SAS）．
△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，则△AEM与△CBN不相似，故④错误；
易得△AME∽△AED、△EMA∽△EAB，△AMN∽△EAN，
故(AM)/(AE)=(AE)/(AD)，即(AM)/(MD)=(AE)/(AD)，则点M是线段AD的黄金分割点；
(EM)/(AE)=(AE)/(BE)，即(EM)/(AE)=(AE)/(BE)，即(EM)/(BM)=(BM)/(BE)，则点M是线段BE的黄金分割点；
(MN)/(AN)=(AN)/(NE)，即(MN)/(ME)=(ME)/(NE)，则点M是线段NE的黄金分割点；
故⑤正确．
综上可得假命题只有④，共1个．
故选B．