如图,在平面直角坐标系xOy中,以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交y轴的正半轴于点N.劣弧MN的长为65π,直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B.(1)求证:直线AB与O相切;(2)
如图,在平面直角坐标系xOy中,以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交y轴的正半轴于点N.劣弧的长为π,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、B.

(1)求证:直线AB与 O相切;
(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用π表示)
答案和解析
(1)证明:作OD⊥AB于D,如图所示:

∵劣弧
的长为π,
∴=π,
解得:OM=,
即 O的半径为,
∵直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、B,
当y=0时,x=3;当x=0时,y=4,
∴A(3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB==5,
∵△AOB的面积=AB•OD=OA•OB,
∴OD===半径OM,
∴直线AB与 O相切;
(2) 图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形OMN的面积=×3×4-π×()2=6-π.
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