如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧MN的长为65π，直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）求证：直线AB与O相切；（2）

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧

MN

的长为(6)/(5)π，直线y=-(4)/(3)x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．

（1）求证：直线AB与 O相切；
（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）

Answer 1

（1）证明：作OD⊥AB于D，如图所示：
∵劣弧

MN

的长为(6)/(5)π，
∴(90π×OM)/(180)=(6)/(5)π，
解得：OM=(12)/(5)，
即 O的半径为(12)/(5)，
∵直线y=-(4)/(3)x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，
当y=0时，x=3；当x=0时，y=4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=√(32+42)=5，
∵△AOB的面积=(1)/(2)AB•OD=(1)/(2)OA•OB，
∴OD=(OA×OB)/(AB)=(12)/(5)=半径OM，
∴直线AB与 O相切；
（2） 图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形OMN的面积=(1)/(2)×3×4-(1)/(4)π×（(12)/(5)）²=6-(36)/(25)π．