帮忙做下这道题吧函数f(k)是定义在正整数上取值的严格增函数,且满足f[f(k)]=3k.试求f(1)+f(9)+f(96)的值.

Question

帮忙做下这道题吧
函数f(k)是定义在正整数上取值的严格增函数,且满足f[f(k)]=3k.
试求f(1)+f(9)+f(96)的值.

Answer 1

因为f[f(k)]=3k,所以f[f(1)]=3
因为f(k)是定义在正整数上取值的严格增函数,那么f(1)=1或者2,这是因为若f(1)=3,则f(3)=3=f(1),与f(k)严格增矛盾,同理f(1)不能大于3.故f(1)=1或者2.若f(1)=1,则3=f[f(1)]=f(1)矛盾；故f(1)=2
所以f(2)=3
由于f[f(k)]=3k
所以6=3乘以2=f[f(2)]=f(3)
9=3乘以3=f[f(3)]=f(6)
所以f(3)=6,f(4)=7,f(5)=8,f(6)=9
所以9=3乘以3=f[f(3)]=f(6)
12=3乘以4=f[f(4)]=f(7)
15=3乘以5=f[f(5)]=f(8)
18=3乘以6=f[f(6)]=f(9)
21=3乘以7=f[f(7)]=f(12)
所以f(6)=9,f(7)=12,f(8)=15,f(9)=18,f(10)=19,f(11)=20,f(12)=21
所以21=3乘以7=f[f(7)]=f(12)
24=3乘以8=f[f(8)]=f(15)
27=3乘以9=f[f(9)]=f(18)
30=3乘以10=f[f(10)]=f(19)
33=3乘以11=f[f(11)]=f(20)
36=3乘以12=f[f(12)]=f(21)
所以f(12)=21,f(13)=22,f(14)=23,f(15)=24,f(16)=25,f(17)=26,f(18)=27,f(19)=30,f(20)=33,f(21)=36
所以36=3乘以12=f[f(12)]=f(21)
39=3乘以13=f[f(13)]=f(22)
42=3乘以14=f[f(14)]=f(23)
45=3乘以15=f[f(15)]=f(24)
48=3乘以16=f[f(16)]=f(25)
51=3乘以17=f[f(17)]=f(26)
54=3乘以18=f[f(18)]=f(27)
57=3乘以19=f[f(19)]=f(30)
60=3乘以20=f[f(20)]=f(33)
63=3乘以21=f[f(21)]=f(36)
所以f(28)=55,f(29)=56,f(31)=58,f(32)=59,f(34)=61,f(35)=62
所以f(59)=f(f(32))=96
f(96)=f(f(59))=3乘以59=177
所以f(1)+f(9)+f(96)=1+18+177=196