各位哥哥姐姐们,1.已知二次函数f（x）=ax^+bx+c的对称轴是x=7/4,且方程f（x）-(7x+a)=0有两个相等的实根.1.求f(x)解析式2.求f(x)在1.3上值域2已知函数f(x)=4的x次幂+m*2的x次幂+1,问m为何值时函数f(x

Question

各位哥哥姐姐们,
1.
已知二次函数f（x）=ax^+bx+c的对称轴是x=7/4,且方程f（x）-(7x+a)=0有两个相等的实根.
1.求f(x)解析式
2.求f(x)在【1.3】上值域
2已知函数f(x)=4的x次幂+m*2的x次幂+1,问m为何值时函数f(x)有且只有一个零点,并求出该零点

Answer 1

1、(1)因为二次函数f(x)=ax^2+bx+a的对称轴为x=7/4
所以-b/2a=7/4
又方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根
所以方程f(x)=7x+a的判别式Δ=(b-7)^2-4a*0=0
故b=7
所以a=-2
所以f(x)=-2x^2+7x-2
(2)f(x)在[1,3]上的最大值是f(7/4)=-2*(7/4)^2+7*(7/4)-2=33/8
f(x)在[1,3]上的最小值是f(3)=-2*3^2+7*3-2=1
所以f(x)在[1,3]上的值域是[1,33/8]
(3)由(2)知f(3)=1
若M=7/4,则3/M=12/7≠33/8,所以不符合
那么M＞7/4
则f(M)=-2M^2+7M-2=3/M
所以2M^3-7M^2+2M+3=0
解得唯有M=3符合,其余解不符合
所以M=3

2、
∵ f(x)=4^x+m×2^x+1
=(2^x)^2+m×2^x+1
若f(x)有且只有一个零点
即方程(2^x)^2+m×2^x+1=0有且只有一个实根
令t=2^x,t＞0
即方程t^2+mt+1=0在（0,＋∞）内有且只有一个实根
令g(t)=t^2+mt+1
∴△=m^2-4=0 或△=m^2-4＞0 或△=m^2-4＞0
-m/2＞0 g(0)＜0 g(0)=0
-m/2＞0
∴m=-2
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