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给定一个连续线性泛函f,M={x|f(x)=0}.证:M是F的闭线性子空间.
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答案和解析
设 z=ax+by,其中,x,y属于M,a,b属于系数域.
则:f(z)=af(x)+bf(y) --- 因为 f线性
= a*0+b*0=0
所以 z属于M,即 M 是线性子空间.
设 xi属于M,i=1,2,.... xi---->y,y属于F.
因为f连续,所以 f(xi) ----> f(y),而f(xi)=0,所以 f(y)= 0.所以 y属于M,即 M是闭集.
综上,M是F的闭线性子空间.
则:f(z)=af(x)+bf(y) --- 因为 f线性
= a*0+b*0=0
所以 z属于M,即 M 是线性子空间.
设 xi属于M,i=1,2,.... xi---->y,y属于F.
因为f连续,所以 f(xi) ----> f(y),而f(xi)=0,所以 f(y)= 0.所以 y属于M,即 M是闭集.
综上,M是F的闭线性子空间.
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