一道奇怪的数学证明题：设定义在R上的连续函数f(x)满足f'(x)=f(x)且有f(0)=0,证一道奇怪的数学证明题：设定义在R上的连续函数f(x)满足f'(x)=f(x)且有f(0)=0,证明f(x)≡0

Question

一道奇怪的数学证明题：设定义在R上的连续函数f(x)满足f'(x)=f(x)且有f(0)=0,证
一道奇怪的数学证明题：
设定义在R上的连续函数f(x)满足f'(x)=f(x)且有f(0)=0,证明f(x)≡0

Answer 1

很简单,构造辅助函数
g(x)=f(x)·e^(-x)
则,
g'(x)=f(x)·e^(-x)-f '(x)·e^(-x)
=[f(x)- f '(x)]·e^(-x)
≡0
所以,g(x)为常函数.
又g(0)=0
所以,g(x)≡0
所以,f(x)≡0