在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，

Question

在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 为动点，且直线 与直线 的斜率之积为 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设过点 的直线 与曲线 相交于不同的两点 ， .若点 在 轴上，且 ，求点 的纵坐标的取值范围.

Answer 1

（1） ；（2） .

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、中点坐标公式等基础知识，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、分类讨论思想、坐标化方法等.第一问，设出动点坐标，利用斜率的关系列出表达式，整理出方程；第二问，先根据直线的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，因为相交，所以联立方程，消参，得到关于 的方程，找到 中点坐标，因为7 ，所以找直线 的垂直平分线，令 ，得到纵坐标，讨论 的正负，利用基本不等式得到范围.
试题解析：（1）设动点 的坐标为 ，依题意可知 ，
整理得 .                     3分
所以动点 的轨迹 的方程为 .            5分
（2）当直线 的斜率不存在时，满足条件的点5 的纵坐标为 .       7分
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 .
将 代入 并整理得，
.   .           8分  
设 ， ，则 ，.
设 的中点为 ，则 ，

作业帮用户 2016-11-28

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