证明函数f（x）=1x在[a，1]（0＜a＜1）一致连续，在（0，1]不一致连续．

Question

证明函数f（x）=(1)/(x)在[a，1]（0＜a＜1）一致连续，在（0，1]不一致连续．

Answer 1

证明：∀ε＞0，∀x₁，x₂∈[a，1]，有：
|(1)/(x1)−(1)/(x2)|＝(|x1−x2|)/(|x1x2|)≤(1)/(a2)|x1−x2|
∴∀ε＞0，取δ=a²ε，∀x₁，x₂∈[a，1]：|x₁-x₂|＜δ，有|(1)/(x1)−(1)/(x2)|＜ε
于是f(x)＝(1)/(x)在[a，1]一致连续．
下证f(x)＝(1)/(x)在（0，1]不一致连续．
对ε0＝(1)/(2)，∀δ＞0，取n＞(1)/(√(δ))使(1)/(n+1)，(1)/(n)∈(0，1]，则
|(1)/(n+1)−(1)/(n)|＝(1)/(n(n+1))＜(1)/(n2)＜δ，
但|f((1)/(n+1))−f((1)/(n))|＝＞ε0，
从而f(x)＝(1)/(x)在（0，1]不一致连续．