设f（x，y）=(x2+y)sin(1x2+y2)，(x，y)≠(0，0)0，(x，y)＝(0，0)，则在（0，0）处（）A．连续但二偏导数不都存在B．二偏导数存在但不连续C．连续且二偏导数存在但不可微D．可微

Question

设f（x，y）=

(x2+y)sin((1)/(√(x2+y2)))，(x，y)≠(0，0)

0，(x，y)＝(0，0)

，则在（0，0）处（　　）

A．连续但二偏导数不都存在
B．二偏导数存在但不连续
C．连续且二偏导数存在但不可微
D．可微

Answer 1

∵

lim

(x，y)→(0，0)

(x2+y)＝0，|sin(1)/(√(x2+y2))|≤1
∴由无穷小与有界函数的乘积依然是无穷小的性质，知

lim

(x，y)→(0，0)

f(x，y)＝0＝f(0，0)
∴f（x，y）在点（0，0）连续．
又f′x(0，0)＝

lim

x→0

(f(x，0)−f(0，0))/(x)=

lim

x→0

(x2sin(1)/(|x|))/(x)＝

lim

x→0

xsin(1)/(|x|)＝0
f′y(0，0)＝

lim

y→0

(f(0，y)−f(0，0))/(y)=

lim

y→0

(ysin(1)/(|y|))/(y)=

lim

y→0

sin(1)/(|y|)不存在
∴f（x，y）在点（0，0）对y的偏导数不存在
从而也就在点（0，0）处不可微．
∴f（x，y）在点（0，0）处连续但二偏导数不都存在、不可微
故A正确，B、C、D错误．
故选：A．