当x=0时,f(x)=1,当x不等于0时,f(x)=x分之e*x-1.为什么导函数f(x)一撇在x=0处是连续的呢,我可以算得f(x)在x=0时连续,所以可求导当x趋近于0时导数的极限等于1/2,但是连续不是要左右极限相等且等于函

Question

当x=0时,f(x)=1,当x不等于0时,f(x)=x分之e*x-1.为什么导函数f(x)一撇在x=0处是连续的呢,我可以算得f(x)在x=0时连续,所以可求导当x趋近于0时导数的极限等于1/2,但是连续不是要左右极限相等且等于函数值吗,这个的函数值不是x=0时的导等于0吗?

Answer 1

既然知道连续是函数值等于极限值,那就好办了.
现在的问题是导函数是否在x=0连续?问的是导函数,不是函数f(x),
因此第一步就得先将导函数f'(x)求出来.
当x不为0时,f'(x)=(xe^x-e^x+1)/x^2,这是直接用导数的除法法则得到的.
当x为0时,已经不能用除法法则了,只能用定义求出f'(0).
f'(0)=lim (f(x)-f(0))/x=lim (e^x-1-x)/x^2=1/2.
有了导函数的表达式,我们再来看当x趋于0时,
是否有lim f'(x)=f'(0)成立.成立则连续,否则不连续.
lim f'(x)=lim (xe^x-e^x+1)/x^2=lim (xe^x)/(2x)=1/2=f'(0),
因此按照连续的定义,f'(x)在x=0连续.