直线l过点P（-4,0）,它的参数方程为x=-4+√3t／2,y=t／2(t为参数）,直线l与圆x²＋y²＝7相交相交于A,B两点（1）求弦长|AB|（2）过点P做圆的切线,求切线长

Question

直线l过点P（-4,0）,它的参数方程为x=-4+√3t／2,y=t／2(t为参数）,直线l与圆x²＋y²＝7相交
相交于A,B两点
（1）求弦长|AB|
（2）过点P做圆的切线,求切线长

Answer 1

第一个问题：
∵x＝－4＋√3t/2、y＝t/2,∴x＝－4＋√3y,与x^2＋y^2＝7联立,消去x,得：
（－4＋√3y）^2＋y^2＝7,∴16－8√3y＋3y^2＋y^2＝7,∴4y^2－8√3y＋9＝0.
∵A、B都在直线x＝－4＋√3y上,
∴可设A、B的坐标分别是（－4＋√3m,m）、（－4＋√3n,n）.
显然,m、n是方程4y^2－8√3y＋9＝0的两根,∴由韦达定理,有：m＋n＝2√3、mn＝9/4.
∴｜AB｜
＝√［（√3m－√3n）^2＋（m－n）^2］＝2√［（m＋n）^2－4mn］＝2√（12－9）＝2√3.
第二个问题：
令切点为Q,则：PQ⊥OQ.
显然有：｜OP｜＝4、｜OQ｜＝√7.
∴由勾股定理,有：｜PQ｜^2＝｜OP｜^2－｜OQ｜^2＝16－7＝9,∴｜PQ｜＝3.
∴由点P向圆所引的切线长为3.