如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证：AD^2+BC BD=AB^2

Question

如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2
如图,已知圆O1,圆O2 外切于P,过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D,直线PB交圆O2于A,求证：AD^2+BC BD=AB^2

Answer 1

过点P作两圆的公切线交BD于E.
∵A、P、C、D共圆,∴∠APD＝∠ACD,∴∠BPD＝∠ACB.
∵PE、BE分别切⊙O1于P、E,∴∠EPB＝∠ABD,∴∠BPD＝∠DPE＋∠ABD,
∴∠ACB＝∠DPE＋∠ABD.
∵PE切⊙2于P,∴∠DPE＝∠BAD,∴∠ACB＝∠BAD＋∠ABD＝180°－∠ADC.
∵A、P、C、D共圆,∴∠APC＝180°－∠ADC,∴∠ACB＝∠APC,又∠BAC＝∠CAP,
∴△ABC∽△ACP,∴∠ABD＝∠ACP.
∵A、P、C、D共圆,∴∠ADP＝∠ACP,∴∠ADP＝∠PBD,∴AD是△PBD外接圆的切线,
∴由切割线定理,有：AD^2＝AP×AB＝（AB－BP）AB＝AB^2－AB×BP.
对⊙2来说,由割线定理,有：AB×BP＝BC×BD,∴AD^2＝AB^2－BC×BD,
∴AD^2＋BC×BD＝AB^2.