线性代数设A和B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,R(A+B-E)=n,证明：R(A)=R(B).另外想弱弱地问下：“n阶矩阵”是不是就是方阵?

Question

线性代数
设A和B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,R(A+B-E)=n,证明：R(A)=R(B).
另外想弱弱地问下：“n阶矩阵”是不是就是方阵?

Answer 1

“n阶矩阵”是方阵,不是方阵的话,一般写作m×n矩阵.
R(A+B-n)=n说明A+B-E是可逆矩阵.又A(A+B-E)=A^2+AB-A=AB,所以R(A)=R(AB)≤R(B).同理,B(A+B-E)=BA,所以R(B)=R(BA)≤R(A).所以R(A)=R(B)