设A*是n阶方阵A的伴随矩阵．证明：当R（A）=n时，R（A*）=n；当R（A）=n-1时，R（A*）=1；当R（A）<n-1时，R（A*）=0．

Question

设A^*是n阶方阵A的伴随矩阵．证明：当R（A）=n时，R（A^*）=n；当R（A）=n-1时，R（A^*）=1；当R（A）<n-1时，R（A^*）=0．

Answer 1

证明：①当r（A）=n时，|A|≠0，而AA*=|A|E因此A*是可逆的，故r（A*）=n②当r（A）=n-1时，此时AA*=0，并且A中至少有一个n-1阶子式不为零，即A*≠0同时也表明A*的列向量是AX=0的解而AX=0的基础解系所含解向量的个数...