如图,抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=k/x相交于点A,B.点A的坐标为（1,4）点B在第三象限内,S△AOB=3 ①求出抛物线的解析式②过抛物线上点A作直线AC‖x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足⊿EOC～⊿

Question

如图,抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=k/x相交于点A,B.点A的坐标为（1,4）点B在第三象限内,S△AOB=3
①求出抛物线的解析式
②过抛物线上点A作直线AC‖x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足⊿EOC～⊿AOB的点E的坐标

Answer 1

(1)把A(1,4)代入y=k/x
得k=4
设B(m,4/m),m＜0,直线AB解析式为y=kx+b,AB与x轴交点为C
把A(1,4)、B(m,4/m)代入y=kx+b得
4=k+b .①
4/m=km+b.②
由①②解得
k= -4/m
b= 4(m+1)/m
∴AB解析式为 y=[-4/m]·x+4(m+1)/m
当y=0时,x=m+1
即D点坐标为(m+1,0),可以看出D在原点左边,即m+1＜0
∴OD=|m+1|=-(m+1)
S△AOD=OD·4÷2=-2(m+1)
S△BOD=OD·|4/m|÷2= -(m+1)·|2/m|=2(m+1)/m (因为m＜0,绝对值去掉要变号)
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=-2(m+1)+2(m+1)/m = 3
解得m=-2或1/2(舍)
∴4/m=-2 m=-2
∴B(-2,-2)
把A(1,4)、B(-2,-2)代入y=ax²+ bx
得
4=a+b
-2=4a-2b
解得a=1,b=3
(2)因为AC∥x轴,所以C（-4,4）,于是CO＝4根号2. 又BO=2根号2,所以CO/BO=2.
设抛物线y=ax2+bx（a＞0）与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为（-3,0）.因为∠COD＝∠BOD＝45°,所以∠COB=90°.（1）将△BOA绕点O顺时针旋转90°,得到△B'OA1.这时,点B'(-2,2)是CO的中点,点A1的坐标为（4,-1）.延长OA1到点E1,使得OE1=2OA1,这时点E1（8,-2）是符合条件的点.（2）作△BOA关于x轴的对称图形△B'OA2,得到点A2（1,-4）；延长OA2到点E2,使得OE2＝2OA2,这时点E2（2,-8）是符合条件的点．所以,点E的坐标是（8,-2）,或（2,-8）.