X"+2X'+X=SintX(0)=0X'(0)=1

Question

X"+2X'+X=Sint X(0)=0 X'(0)=1

Answer 1

特征根r1=r2=-1,齐次解可写为X=(C1t+C2)e^(-t),特解可设为x*=D1cost+D2sint,则
x*'=-D1sint+D2cost,x*''=-D1cost-D2sint,将特解及其各阶导数代入方程,比较系数,得
D1=-1/2,D2=0,特解为x*=-1/2cost.
齐次解又可写为x(t)=(C1t+C2)e^(-t)-1/2cost,将初始条件代入齐次解及其一阶导数,可得
C1=3/2,C2=1/2.
故原方程的解为x(t)=(3/2t+1/2)e^(-t)-1/2cost.