（工科）设（X，Y）的联合概率密度为：f（x，y）=2−x−y，0≤x≤1，0≤y≤10，其它．（1）求X、Y的边缘概率密度fX（x）和fY（y）；（2）判断X，Y是否独立；（3）求E

Question

（工科）设（X，Y）的联合概率密度为：f（x，y）=

2−x−y   ，     0≤x≤1 ，  0≤y≤1

0             ，          其它

．
（1）求X、Y的边缘概率密度f_X（x）和f_Y（y）；
（2）判断X，Y是否独立；
（3）求E（X），E（Y），E（XY）．

Answer 1

（1）（X，Y）关于X的边缘密度为
fX(x)＝

∫

+∞ −∞

 f(x，y) dy＝

(3)/(2)−x   ，    0≤x≤1

0       ，       其他

（X，Y）关于Y的边缘密度为
fY(y)＝

∫

+∞ −∞

 f(x，y)dx＝

(3)/(2)−y   ，    0≤y≤1

0       ，      其他

（2）因为 f_X（x）f_Y（y）≠f（x，y），故 X，Y不相互独立．
（3）E(X)＝

∫

+∞ −∞

 xfX(x)dx＝(5)/(12)，E(Y)＝

∫

+∞ −∞

 yfY(y)dy＝(5)/(12)
E(XY)＝

∫

+∞ −∞

 

∫

+∞ −∞

 xyf(x，y) dxdy＝

∫

1 0

 dx

∫

1 0

 xy(2−x−y) dy＝(1)/(6)．