关于概率密度的系列问题概率密度函数中f(x)的连续点x表示的是什么?而且为什么P{X=x}=0?F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt,这个函数表示的是x在一个区间内的概率和?性质F'(x)=f(x)中,F'(x)表示的又是什么?

Question

关于概率密度的系列问题
概率密度函数中f(x)的连续点x表示的是什么?
而且为什么P{X=x}=0?
F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt,这个函数表示的是x在一个区间内的概率和?
性质F'(x)=f(x)中,F'(x)表示的又是什么?

Answer 1

概率密度函数中f(x)的连续点x表示的是什么?
x是定义域,表示事件所有的可能取到的值.
为什么P{X=x}=0?
在离散情况下,P{X=x}未必就是0.但是在概率密度,也就是我们认为可能取到的值是连续的,是一个区间的情况下,那么P{X=x}就等于0.比如在一条线段上,我们认为正好取到其中某个点的概率是0,再比如一个箭靶,能准确射中某个点的概率是0 .
F(x)=∫(-∞,x)f(t)dt,这个函数表示的是x在一个区间内的概率和?
f(t)可以看做坐标轴的一个曲线,∫(-∞,x)f(t)dt可以看作图像f(t)在t=x点之前的,与x轴围成的面积之和.这本就是积分的几何意义.f(t)既然是某点的概率,那∫(-∞,x)f(t)dt当然是f(t)在区间(-∞,x)内的概率和.
性质F'(x)=f(x)中,F'(x)表示的又是什么?
F(x)我们刚才说过了,是f(x)的积分,F(x)在定义上称为分布函数,f(x)在定义上称为概率密度函数,根据上面的关系,可以看到F(x)的导数是f(x),也就是说f(x)是F(x)曲线的变化率.
简单举个例子,比如一根棍子,从左到右,它的质量F(x)不断增大,而它从左到右的密度f(x)也在不断变化,质量的变化率就是密度.