若直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是．

Question

若直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x²+y²-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是______．

Answer 1

圆的方程x²+y²-4x-2y-4=0化为（x-2）²+（y-1）²=9，可得圆心C（2，1）．
∵直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x²+y²-4x-2y-4=0的周长，
∴圆心C在直线上，∴2m+2n-4=0，化为m+n=2．
当m＞0，n＞0，m≠n时，2＝m+n＞2√(mn)，化为mn＜1．
当mn=0时，mn=0．
当m＜0或n＜0（不同时成立）时，mn＜0．
综上可知mn的取值范围是（-∞，1）．
故答案为（-∞，1）．