关于极限问题证明:当X趋向正无穷时,f(x)的极限为A的充要条件是对任何数列Xn,当Xn趋向正无穷时(n趋于无穷)有f(Xn)趋向于A

Question

关于极限问题
证明:当X趋向正无穷时,f(x)的极限为A的充要条件是对任何数列Xn,当Xn趋向正无穷时(n趋于无穷)有f(Xn)趋向于A

Answer 1

这是著名的Henie定理.简要证明如下：
lim[x->a]f(x)=A ==> lim[an->∞]f(an)=A （n->∞）
由函数极限定义：任给e>0,存在d>0,当|x-a|∞）
反证法,若lim[x->a]f(x)不是A,
则存在e>0,对任意d>0,都存在某个x：满足|x-a|e
再利用lim[n->∞]f(an)=A的数列极限定义推出矛盾.
……