设a>0，．(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，+∞)时，求f(x)的最小值．

Question

设a>0，．
(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；
(2)当x∈[1，+∞)时，求f(x)的最小值．____

Answer 1

【分析】(1)当a=2时，f(x)=x²+2|lnx-1|，利用零点分段法，我们可将函数化为分段函数的形式，进而根据分段函数分段处理的原则，分别求出当x>e时，和当0<x<e时，导函数的解析式，利用导数法，即可求出f(x)的单调区间；
\n(2)类比(1)，利用导数法，可以判断出f(x)在(e，+∞)单增，f(x)在单增，f(x)在单减，进而根据分段函数最值的求法，可得当时，f_min(x)=f(e)=e²，当1<<<<时，，当<时，f_min(x)=f(1)=1+a．

(1)当a=2时，
\n当x>e时，恒成立，
\n当0<x<e时，，
\n令f'(x)>0，得1<x<e
\n又，
\n故f(x)在x=e处连续，
\n所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增．
\n(2)当x>e时，，故f(x)在(e，+∞)单增
\n当0<x<e时，，
\n令
\n则f(x)在单增，
\nf(x)在单减．
\n又f(x)在x=e处连续．
\n故，当时，
\nf_min(x)=f(e)=e²；
\n当1<<<a<时，

\n当时，f_min(x)=f(1)=1+a.

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，其中利用零点分段法，将函数的解析式化为分段函数的形式，是解答本题的关键，另外解答时要注意函数的定义域为(0，+∞)，以免产生错误．