设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F（1,0）,直线l与抛物线C相交于A,B两点．若AB的中点为（2,-2）,则直线ι的方程为．

Question

设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F（1,0）,直线l与抛物线C相交于A,B两点．若AB的中点为（2,-2）,则直线ι的方程为______．

Answer 1

根据题意得：抛物线的方程为：x²=-4y,设A、B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2）,
则：(x1)²=-4y1,(x2)²=-4y2,所以：(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1-y2),
由AB的中点为（2,-2）得：x1+x2=4,所以(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1-y2)可化为：
4(x1-x2)=-4(y1-y2),所以：(y1-y2)/(x1-x2)=-1,即：直线AB的斜率是-1,
又AB的中点为（2,-2）,所以直线AB的方程为：y+2=-(x-2),即：y=-x