已知抛物线C：x2=2py（p>0）过点（2，1），直线l过点P（0，-1）与抛物线C交于A、B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连接A′B（1）求抛物线C的标准方程；（2）问直线A'B是否过定点？若是

Question

已知抛物线C：x²=2py（p>0）过点（2，1），直线l过点P（0，-1）与抛物线C交于A、B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连接A′B

（1）求抛物线C的标准方程；
（2）问直线A'B是否过定点？若是，求长定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）将点（2，1）代入抛物线x²=2py的方程得，p=2，
所以，抛物线C的标准方程为x²=4y．                   …（4分）
（2）设直线l的方程为y=kx-1，又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A'（-x₁，y₁），
由

y=(1)/(4)x2

y=kx-1

得x²-4kx+4=0，则△=16k²-16>0，x₁•x₂=4，x₁+x₂=4k，
所以kA′B=(y2-y1)/(x2-(-x1))=((x22)/(4)-(x12)/(4))/(x1+x2)=(x2-x1)/(4)，
于是直线A'B的方程为y-(x22)/(4)=(x2-x1)/(4)(x-x2)，…（8分）
所以，y=(x2-x1)/(4)(x-x2)+(x22)/(4)=(x2-x1)/(4)x+1，当x=0时，y=1，
所以直线A'B过定点（0，1）．     …（10分）