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如图,已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A,B,C三点,抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称.(1)直接写出点D的坐标和直线AD的解析式;(2)点E是抛物线上位于直线AD上方的动点,过点E
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如图,已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A,B,C三点,抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称.
(1)直接写出点D的坐标和直线AD的解析式;
(2)点E是抛物线上位于直线AD上方的动点,过点E分别作EF∥x轴,EG∥y轴并交直线AD于点F、G,求△EFG周长的最大值;
(3)若点P为y轴上的动点,则在抛物线上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)直接写出点D的坐标和直线AD的解析式;
(2)点E是抛物线上位于直线AD上方的动点,过点E分别作EF∥x轴,EG∥y轴并交直线AD于点F、G,求△EFG周长的最大值;
(3)若点P为y轴上的动点,则在抛物线上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)将x=0代入得y=3,
∴C(0,3).
∵抛物线的对称轴为x=-
=1,C(0,3),
∴D(2,3).
把y=0代入抛物线的解析式得:0=-x2+2x+3,解得x=3或x=-1,
∴A(-1,0).
设直线AD的解析式为y=kx+b,将点A和点D的坐标代入得:
,解得:k=1,b=1,
∴直线AD的解析式为y=x+1.
(2)如图1所示:
∵直线AD的解析式为y=x+1,
∴∠DAB=45°.
∵EF∥x轴,EG∥y轴,
∴∠GEF=90°,∠GFE=∠DAB=45°
∴△EFG是等腰直角三角形.
∴△EFG的周长=EF+FG+EG=(2+
)EG.
依题意,设E(t,-t2+2t+3),则G(t,t+1).
∴EG=-t2+2t+3-(t+1)=-(t-
)2+
.
∴EG的最大值为
.
∴△EFG的周长的最大值为
+
.
(3)存在.
①以AD为平行四边形的边时,PQ∥AD,PQ=AD.
∵A,D两点间的水平距离为3,
∴P,Q两点间的水平距离也为3.
∴点Q的横坐标为3或-3.
将x=3和x=-3分别代入y=-x2+2x+3得y=0或y=-12.
∴Q(3,0)或(-3,-12).
②当AD为平行四边形的对角线时,设AD的中点为M,
∵A(-1,0),D(2,3),M为AD的中点,
∴M(
,
).
设点Q的横坐标为x,则
=
,解得x=1,
∴点Q的横坐标为1.
将x=1代入y=-x2+2x+3得y=4.
∴这时点Q的坐标为(1,4).
综上所述,当点Q的坐标为Q(3,0)或(-3,-12)或(1,4)时,以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.
∴C(0,3).
∵抛物线的对称轴为x=-
b |
2a |
∴D(2,3).
把y=0代入抛物线的解析式得:0=-x2+2x+3,解得x=3或x=-1,
∴A(-1,0).
设直线AD的解析式为y=kx+b,将点A和点D的坐标代入得:
|
∴直线AD的解析式为y=x+1.
(2)如图1所示:
∵直线AD的解析式为y=x+1,
∴∠DAB=45°.
∵EF∥x轴,EG∥y轴,
∴∠GEF=90°,∠GFE=∠DAB=45°
∴△EFG是等腰直角三角形.
∴△EFG的周长=EF+FG+EG=(2+
2 |
依题意,设E(t,-t2+2t+3),则G(t,t+1).
∴EG=-t2+2t+3-(t+1)=-(t-
1 |
2 |
9 |
4 |
∴EG的最大值为
9 |
4 |
∴△EFG的周长的最大值为
9 |
2 |
9
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4 |
(3)存在.
①以AD为平行四边形的边时,PQ∥AD,PQ=AD.
∵A,D两点间的水平距离为3,
∴P,Q两点间的水平距离也为3.
∴点Q的横坐标为3或-3.
将x=3和x=-3分别代入y=-x2+2x+3得y=0或y=-12.
∴Q(3,0)或(-3,-12).
②当AD为平行四边形的对角线时,设AD的中点为M,
∵A(-1,0),D(2,3),M为AD的中点,
∴M(
1 |
2 |
3 |
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设点Q的横坐标为x,则
x+0 |
2 |
1 |
2 |
∴点Q的横坐标为1.
将x=1代入y=-x2+2x+3得y=4.
∴这时点Q的坐标为(1,4).
综上所述,当点Q的坐标为Q(3,0)或(-3,-12)或(1,4)时,以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.
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