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(2010•锦州)如图,直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上,AD∥BC,AB⊥BC于点B,AD=4,AB=6,BC=8,直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等,将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动,
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(2010•锦州)如图,直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上,AD∥BC,AB⊥BC于点B,AD=4,AB=6,BC=8,直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等,将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动,当点C与点G重合时停止移动.设梯形与正方形重叠部分的面积为S.
(1)求正方形的边长;
(2)设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x,求S与x的函数关系式;
(3)当直角梯形ABCD向右移动时,它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半?若能,请求出此时运动的距离x的值;若不能,请说明理由.
(1)求正方形的边长;
(2)设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x,求S与x的函数关系式;
(3)当直角梯形ABCD向右移动时,它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半?若能,请求出此时运动的距离x的值;若不能,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)可通过求出梯形的面积即正方形的面积来求正方形的边长.
(2)由(1)的结果可看出AD,EF也在一条直线上,那么本题要分两种情况进行讨论.
①当D在E点上或E点左侧时,即当0<x≤4时,重叠部分是个三角形,如果设DN与CE的交点为M,那么高就是CM底边就是CN,CN=x,CM可以通过构建相似三角形来求,过D作DH⊥BC于H,那么根据三角形CMN和HDN相似即可求出CM,也就能得出关于x,y的函数关系式.
②当D在E点右侧时,即当4<x≤6时,重叠部分是直角梯形,而DE=CG-(8-x),然后根据梯形的面积公式即可得出x,y的函数关系式.
(3)先求出梯形的面积,然后将其一半的值代入(2)的函数式中,求出符合题意的解即可.
【解析】
(1)S正方形EFGC=S梯形ABCD=(4+8)×6=36.
设正方形边长为x.
∴x2=36,
∴x1=6,x2=-6(不合题意,舍去).
∴正方形的边长为6.
(2)①当0<x≤4时,重叠部分为△MCN.
过D作DH⊥BC于H,可得△MCN∽△DHN,
∴=,
∴=,
∴MC=x,
∴S=CN•CM=•x•x.
∴S=x2.
②当4<x≤6时,重叠部分为直角梯形ECND.
S=[4-(8-x)+x]×6,
∴S=6x-12.
(3)存在.
∵S梯形ABCD=36,当0<x≤4时,S=x2,
∴×36=x2,x=2(取正值)>4
∴此时x值不存在.
当4<x≤6时,S=6x-12,
∴×36=6x-12,
∴x=5.
综上所述,当x=5时,重叠部分面积S等于直角梯形的一半.
(2)由(1)的结果可看出AD,EF也在一条直线上,那么本题要分两种情况进行讨论.
①当D在E点上或E点左侧时,即当0<x≤4时,重叠部分是个三角形,如果设DN与CE的交点为M,那么高就是CM底边就是CN,CN=x,CM可以通过构建相似三角形来求,过D作DH⊥BC于H,那么根据三角形CMN和HDN相似即可求出CM,也就能得出关于x,y的函数关系式.
②当D在E点右侧时,即当4<x≤6时,重叠部分是直角梯形,而DE=CG-(8-x),然后根据梯形的面积公式即可得出x,y的函数关系式.
(3)先求出梯形的面积,然后将其一半的值代入(2)的函数式中,求出符合题意的解即可.
【解析】
(1)S正方形EFGC=S梯形ABCD=(4+8)×6=36.
设正方形边长为x.
∴x2=36,
∴x1=6,x2=-6(不合题意,舍去).
∴正方形的边长为6.
(2)①当0<x≤4时,重叠部分为△MCN.
过D作DH⊥BC于H,可得△MCN∽△DHN,
∴=,
∴=,
∴MC=x,
∴S=CN•CM=•x•x.
∴S=x2.
②当4<x≤6时,重叠部分为直角梯形ECND.
S=[4-(8-x)+x]×6,
∴S=6x-12.
(3)存在.
∵S梯形ABCD=36,当0<x≤4时,S=x2,
∴×36=x2,x=2(取正值)>4
∴此时x值不存在.
当4<x≤6时,S=6x-12,
∴×36=6x-12,
∴x=5.
综上所述,当x=5时,重叠部分面积S等于直角梯形的一半.
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